幂函数图像

文 / 吴文中

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一、举例说明:

我们以高中数学中非常典型的5个幂函数作为例子开始,它们是:f(x)=x、f(x)=x2、f(x)=x3、f(x)=x-1、f(x)=x1/2。使用【在线函数图像生成器】绘制,我们立马可以得到这5个典型的幂函数图像,图像如下图:(←点击链接←,还可在此基础上随意调整函数图像)

5个典型的幂函数图像5个典型的幂函数图像

从上面5个典型的幂函数的图像,同学们,或许已经发现一些端倪了。没错,幂函数的图像具有一般性规律,幂函数图像一定遵循下面5点规律:

①任何幂函数图象一定经过第一象限;

②任何幂函数图像一定不经过第四象限;

③幂函数的图像可能经过第二象限、第三象限,这取决于这个幂函数的奇偶性;当幂函数为奇函数时,那么这个幂函数的图像经过第三象限,eg: f(x)=x3的图像;当幂函数为偶函数时,那么这个幂函数的图像经过经过第四象限,eg:f(x)=x2的图像

④任何幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;

⑤假如幂函数的图象与坐标轴相交,那么这个交点一定是原点。

二、幂函数:

幂函数是指形如y=xα(α为实数)的函数,其中x称为底数,也是幂函数的自变量,α称为指数。幂函数是一个函数种类,并且是一个非常重要的函数种类。幂函数在高考数学中有很大份量,在高等数学中有很大份量,在工业化应用中有很大份量;幂函数包含了数量丰富的各种函数,衍生出去,衔接了个数不菲的常用函数,譬如:一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、根式函数、立方函数.. ...那么,幂函数的性质、规律、图像以及应用,自然而然就成为数学中一个非常吸引人的话题。

幂函数图像是性质好的反映,是规律好的呈现,是应用好的助手;同时,也是本文最重要的主题词,接下来,我们就从另外一个侧面来阐释它、演绎它。当然,关于幂函数其它的东西以及一次函数、二次函数、正方比例函数等,我们会在另外的课程仔细讲解。

三、α在搞怪:

影响幂函数图像的走向和形状的重要因素实际上是α,下面我们把搞怪的α分分类,分成正数、负数和零3类,分别好好说说。

(1)、举例:f(x)=x、f(x)=x2/3、f(x)=x3/2、f(x)=x1/3、f(x)=x3的如下图的图像:(←点击链接←,还可在此基础上随意调整函数图像)

指数α > 0的幂函数的图像指数α > 0的幂函数的图像

从上面5个个例观察,当α>0时,幂函数y=xα的图像的有一些共性的东西被呈现出来:

①比如说,这些幂函数图像都一定会经过点坐标点(1,1)、(0,0);

②再比如说:这些幂函数图像在[0,+∞)区间内都是上升的,或者说,这些幂函数图像在第一象限都是上升的;

除此之外,我们还可以进一步讨论这些幂函数图像上升的规律是怎么的,

③比如说:当α>1时,这些幂函数图像不但上升,而且上升的速度逐渐加大的;

④而当α=1时,幂函数图像是匀速上升的,表现出来的就是导数求出来是一个常数;

⑤当0<α<1时,尽管整个幂函数图像总体还是上升的,但上升的速度在逐渐减小,最后趋近于0。

(2)、举例:f(x)=x-1、f(x)=x-(1/2)、f(x)=x-2、f(x)=x-(1/3)、f(x)=x-3的如下图的图像:(←点击链接←,还可在此基础上随意调整函数图像)

指数α < 0的幂函数的图像指数α < 0的幂函数的图像

那么,我们发现:当α<0时,幂函数y=xα的图像有下面一些特点:

①比如说,这些幂函数图像都通过点(1,1);

②这些幂函数图像在区间(0,+∞)是逐渐递减的;

③这些幂函数图像在第一象限都能以两条坐标轴作为渐近线。当自变量趋近0,函数值趋近+∞;当自变量趋近+∞,函数值趋近0。

(三)、当α=0时,幂函数y=xa的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。注意:它的图像不是直线。(x=0时,函数值没意义)。点击查看图像

未完待续... ...